TIMELINE HISTORY OF MATHEMATICS (bagian 1)
Sejarah Bilangan
Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat, dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks.
Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.
Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.
Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.
Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.
Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai 
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa) adalah 
. Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.
. Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat 
. Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan 
dan $latex i= \sqrt{-1}} $.
. Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan dan $latex i= \sqrt{-1}} $.Teorema Pythagoras
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euclides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM,Pythagoras . Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.[1]
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:
Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu.
Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya.
Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2 + b2 = c2.
Geometri Euclid
Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides.
Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
- Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
- Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
- Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
- Semua sudut di kanan itu kongruen.
- Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar:
"Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
Geometri Non Euclid
Dalil ke-5 ini biasanya disebut "parallel dalil" karena dapat digunakan untuk membuktikan sifat garis sejajar. Euclid mengembangkan teori garis paralel dalam proposisi melalui I.31.
Dalil paralel secara historis dalil yang paling menarik. Geometri sepanjang zaman telah berusaha untuk menunjukkan bahwa dapat dibuktikan dari sisa mendalilkan sehingga tidak perlu untuk menganggap itu. Proses coba adalah menganggap dusta, maka berasal kontradiksi. Banyak kesimpulan aneh mengikuti dari menyangkal dalil paralel, dan beberapa geometri menemukan absurditas besar sehingga mereka menyimpulkan bahwa paralel dalil tidak mengikuti dari yang lain.
Namun demikian, absurditas ini jelas tidak kontradiksi. Pada awal abad kesembilan belas, Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss menemukan cara-cara menghadapi ini geometri "non-Euclidean" dengan cara analisis dan menerimanya sebagai semacam sah geometri, meskipun sangat berbeda dengan geometri Euclidean. Ini geometri hiperbolik, seperti yang disebut, adalah sama konsisten sebagai geometri Euclid dan memiliki banyak kegunaan. Gauss juga mempelajari tentang resiprokal kuadratis, dan konkruen integer, astronomi, dan magnetism.
Dalil paralel secara historis dalil yang paling menarik. Geometri sepanjang zaman telah berusaha untuk menunjukkan bahwa dapat dibuktikan dari sisa mendalilkan sehingga tidak perlu untuk menganggap itu. Proses coba adalah menganggap dusta, maka berasal kontradiksi. Banyak kesimpulan aneh mengikuti dari menyangkal dalil paralel, dan beberapa geometri menemukan absurditas besar sehingga mereka menyimpulkan bahwa paralel dalil tidak mengikuti dari yang lain.
Namun demikian, absurditas ini jelas tidak kontradiksi. Pada awal abad kesembilan belas, Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss menemukan cara-cara menghadapi ini geometri "non-Euclidean" dengan cara analisis dan menerimanya sebagai semacam sah geometri, meskipun sangat berbeda dengan geometri Euclidean. Ini geometri hiperbolik, seperti yang disebut, adalah sama konsisten sebagai geometri Euclid dan memiliki banyak kegunaan. Gauss juga mempelajari tentang resiprokal kuadratis, dan konkruen integer, astronomi, dan magnetism.
Irisan Kerucut
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.
Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jenis-jenis irisan kerucut
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
Teori Himpunan
Yang pertama kali mengembangkan teori himpunan adalah George Cantor (1845-1918). Oleh sebab itu beliau juga dikenal sebagai bapak teori himpunan. Salah satu penemuannya yang dianggap penemuan yang revolusioner pada zaman itu adalah tentang hierarki himpunan infinit (himpunan tak berhingga).
Teori pasti
Suatu ilustrasi tentang Argumentasi Diagonal Cantor untuk keberadaan tentang himpunan.Urutan pada dasarnya tidak bisa terjadi di manapun di (dalam) daftar urutan di atas.
Permulaan tentang teori pasti sebagai cabang matematika adalah sering ditandai oleh penerbitan artikel "Ü B Eine Eigenschaft tidak Inbegriffes semua reellen algebraischen Zahlen". Artikel ini adalah yang pertama untuk menyediakan suatu bukti kaku yang ada lebih dari satu macam ketidak terbatasan. Yang sebelumnya, semua koleksi tanpa batas telah secara implisit mengasumsikan untuk menjadi equinumerous ( itu adalah, tentang " ukuran yang sama" atau mempunyai;nikmati yang sama jumlah elements). Cantor membuktikan bahwa koleksi angka-angka riil dan koleksi bilangan bulat positif bukanlah equinumerous. Dengan kata lain, angka-angka yang riil tidaklah dapat dihitung. Bukti nyajadilah lebih kompleks dibanding yang sungguh rapi dan dengan tepat merayakan argumentasi diagonal yang ia menyerah 1891. Artikel Cantor's juga berisi suatu metoda baru yang membangun angka-angka transendental. Angka-Angka transendental yang yang pertama dibangun oleh Joseph Liouville di1844.
Cantor mendirikan tetapan hasil ini menggunakan dua konstruksi. Konstruksi yang pertamanya menunjukkan bagaimana untuk tulis numbers[40 secara aljabar yang riil] sebagai urutan a1, a2, a3,…. Dengan kata lain, bilangan aljabar yang riil adalah dapat dihitung. Cantor start konstruksi detik/second nya dengan manapun urutan [dari;ttg] angka-angka riil. Penggunaan urutan ini, ia membangun interval tersarang persimpangan tidak siapa berisi suatu nomor;jumlah riil di (dalam) urutan itu. Karena tiap-tiap urutan dari angka-angka riil dapat digunakan untuk tidak membangun suatu riil di (dalam) urutan, angka-angka yang riil tidak bisa [di]tertulis sebagai urutan itu adalah, angka-angka yang riil.
Suatu Venn Diagram yang menggambarkan persimpangan dua menetapkan. Teori pasti adalah cabang matematika yang belajar menetapkan, yang adalah koleksi object. Walaupun manapun jenis obyek dapat dikumpulkan ke dalam seperangkat, teori pasti diterapkan paling sering ke object yang berkait dengan matematika. Bahasa kaleng teori pasti digunakan definisi hampir semua mathematical object.
Studi yang modern teori pasti telah diaktipkan oleh Georg Cantor Dan Richard Dedekind di (dalam) 1870s. Setelah penemuan paradox di (dalam) [yang] teori pasti naif, banyak sistem aksioma telah diusulkan pada awal abad ke duapuluh, yang mana Zermelo-Fraenkel Aksioma, dengan aksioma pilihan, adalah yang terbaik yang dikenal.
Konsep [dari;ttg] teori pasti terintegrasi sepanjang;seluruh kurikulum matematika di (dalam) Amerika Serikat. Fakta dasar tentang menetapkan dan keanggotaan yang di-set adalah sering diajar sekolah dasar, bersama dengan Venn Diagram, Euler diagram, dan operasi dasar seperti persimpangan dan perserikatan/pipa sambung di-set. Lebih mengedepan konsep seperti cardinalas adalah suatu standard bagian dari kurikulum matematika mahasiswa belum bergelar.
Teori pasti Biasanya dipekerjakan sebagai foundational sistem untuk matematika, yang terutama sekali dalam wujud Zermelo-Fraenkel yang teori pasti dengan aksioma pilihan. Di luar foundational peran nya, teori pasti adalah suatu cabang matematika dalam kepunyaan benar nya , dengan suatu masyarakat riset aktip. Riset jaman ini ke dalam teori pasti meliputi suatu koleksi topik berbeda, berkisar antara struktur garis nomor jumlah yang riil kepada studi konsistensi utama besar.
Sumber: www.wikipedia.org.com
Sumber: www.wikipedia.org.com
Struktur Aljabar
Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, medan, modul, ruang vektor, dan aljabar medan. Frasa aljabar abstrak diciptakan pada awal abad ke-20 untuk membedakannya dengan bidang yang biasa disebut sebagai aljabar, yaitu studi aturan manipulasi rumus dan ekspresi aljabar yang melibatkan variabel dan bilangan riil atau kompleks, yang saat ini lebih sering disebut sebagai aljabar elementer. Perbedaan ini jarang dikemukakan pada tulisan-tulisan matematika yang lebih mutakhir.
Matematika kontemporer dan fisika matematika menggunakan aljabar abstrak secara intensif. Sebagai contoh, fisika teoretis mengandalkan aljabar Lie. Bidang subjek seperti teori bilangan aljabar, topologi aljabar dan geometri aljabar menerapkan metode aljabar terhadap bidang matematika lain. Secara kasar, dapat disebutkan bahwa teori representasi mengeluarkan istilah 'abstrak' dari 'aljabar abstrak', dan mempelajari sisi konkret dari suatu struktur (lihat pula teori model).
Dua bidang subjek matematika yang mempelajari sifat-sifat struktur aljabar yang dipandang secara keseluruhan adalah aljabar universal dan teori kategori. Struktur aljabar, bersama-sama dengan homomorfisme yang berkaitan, membentuk kategori. Teori kategori adalah formalisme ampuh untuk mempelajari dan membandingkan berbagai struktur aljabar yang berbeda-beda.
Sumber: http://abilintang5.blogspot.com/2010/04/struktur-aljabar.html
Teori Group
Teori Grup merupakan cabang matematika yang khusus membahas tentang grup.
Sejarah
Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.
Paradoks Matematika
Kalau Anda perhatikan jalur kereta api disamping, sepertinya dua rel tersebut akan bertemu di titik tertentu. padahal dalam prinsif matematika dua garis yang sejajar tidak akan ketemu. Inilah salah satu contoh paradoks matematika.
Paradoks matematika adalah suatu keadaan yang sepertinya benar padahal salah. ada beberapa paradoks matematika yang dikenal seperti angka nol, dalam perkalian khan berlaku jika 12 x 2 = 24, dimana 12 = 24 / 2 atau 2 = 24 / 12, bila 12 x 0 = 0 harusnya berlaku juga 12 = 0 / 0 atau 0 = 0 / 12, pada kenyataanya tidak khan?
sumber: https://history22education.wodpress.com/2010/12/23paradoks-matematika/
Dasar matematika bangsa babylonia, diturunkan oleh bangsa Yunani yang perkembangannya mulai sekitar tahun 450 SM. Paradoks zeno mengarah pada teori atom oleh Demokritus. Konsep perumusan yang lebih tepat mengarah pada realisasi bahwa bilangan irrasional tidak cukup untuk mengukur semua panjang. Perumusan geometri tentang bilangan irrasional semakin banyak. Pembelajaran tentang area mengarah pada bentuk integrasi.
Sumber: sejarah matematika klasik dan modern
Paradoks russel
A={x/x≠x}
Jika x∈A →x≠x , jika x≠x→x∉A
Sumber: sejarah matematika klasik dan modern
Paradoks russel
A={x/x≠x}
Jika x∈A →x≠x , jika x≠x→x∉A
http://purwati-matswa09.blogspot.com/2011/06/time-line-of-mathematics-ii.html
Aksioma Matematika
Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti.
Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2
Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Sumber: http://id.wikipedia.org/wiki/Aksioma
Tidak ada komentar:
Posting Komentar